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在本文中，我將展示如何使用遞歸圖 Recurrence Plots 來(lái)描述不同類(lèi)型的時(shí)間序列。我們將查看具有500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的各種模擬時(shí)間序列。我們可以通過(guò)可視化時(shí)間序列的遞歸圖并將其與其他已知的不同時(shí)間序列的遞歸圖進(jìn)行比較，從而直觀地表征時(shí)間序列。
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遞歸圖
Recurrence Plots（RP）是一種用于可視化和分析時(shí)間序列或動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的方法。它將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為圖形化的表示形式，以便分析時(shí)間序列中的重復(fù)模式和結(jié)構(gòu)。Recurrence Plots 是非常有用的，尤其是在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中存在周期性、重復(fù)事件或關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)時(shí)。
Recurrence Plots 的基本原理是測(cè)量時(shí)間序列中各點(diǎn)之間的相似性。如果兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的距離小于某個(gè)給定的閾值，就會(huì)在 Recurrence Plot 中繪制一個(gè)點(diǎn)，表示這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間存在重復(fù)性。這些點(diǎn)在二維平面上組成了一種圖像。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def recurrence_plot(data, threshold=0.1):
"""
Generate a recurrence plot from a time series.
:param data: Time series data
:param threshold: Threshold to determine recurrence
:return: Recurrence plot
"""
# Calculate the distance matrix
N = len(data)
distance_matrix = np.zeros((N, N))
for i in range(N):
for j in range(N):
distance_matrix[i, j] = np.abs(data[i] - data[j])
# Create the recurrence plot
recurrence_plot = np.where(distance_matrix <= threshold, 1, 0)
return recurrence_plot上面的代碼創(chuàng)建了一個(gè)二進(jìn)制距離矩陣，如果時(shí)間序列i和j的值相差在0.1以?xún)?nèi)（閾值），則它們的值為1，否則為0。得到的矩陣可以看作是一幅圖像。
白噪聲
接下來(lái)我們將可視化白噪聲。首先，我們需要?jiǎng)?chuàng)建一系列模擬的白噪聲:
# Set a seed for reproducibility
np.random.seed(0)
# Generate 500 data points of white noise
white_noise = np.random.normal(size=500)
# Plot the white noise time series
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(white_noise, label='White Noise')
plt.title('White Noise Time Series')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()遞歸圖為這種白噪聲提供了有趣的可視化效果。對(duì)于任何一種白噪聲，圖看起來(lái)都是一樣的:
# Generate and plot the recurrence plot
recurrence = recurrence_plot(white_noise, threshold=0.1)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.imshow(recurrence, cmap='binary', origin='lower')
plt.title('Recurrence Plot')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Time')
plt.colorbar(label='Recurrence')
plt.show()可以直觀地看到一個(gè)嘈雜的過(guò)程?？梢钥吹綀D中對(duì)角線(xiàn)總是黑色的。
隨機(jī)游走
接下來(lái)讓我們看看隨機(jī)游走（Random Walk）是什么樣子的:
# Generate 500 data points of a random walk
steps = np.random.choice([-1, 1], size=500) # Generate random steps: -1 or 1
random_walk = np.cumsum(steps) # Cumulative sum to generate the random walk
# Plot the random walk time series
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(random_walk, label='Random Walk')
plt.title('Random Walk Time Series')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
# Generate and plot the recurrence plot
recurrence = recurrence_plot(random_walk, threshold=0.1)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.imshow(recurrence, cmap='binary', origin='lower')
plt.title('Recurrence Plot')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Time')
plt.colorbar(label='Recurrence')
plt.show()
SARIMA
SARIMA(4,1,4)(1,0,0,12)的模擬數(shù)據(jù)
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
# Define SARIMA parameters
p, d, q = 4, 1, 4 # Non-seasonal order
P, D, Q, s = 1, 0, 0, 12 # Seasonal order
# Simulate data
model = SARIMAX(np.random.randn(100), order=(p, d, q), seasonal_order=(P, D, Q, s), trend='ct')
fit = model.fit(disp=False) # Fit the model to random data to get parameters
simulated_data = fit.simulate(nsimulatinotallow=500)
# Plot the simulated time series
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(simulated_data, label=f'SARIMA({p},vbb75nf,{q})({P},{D},{Q},{s})')
plt.title('Simulated Time Series from SARIMA Model')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
recurrence = recurrence_plot(simulated_data, threshold=0.1)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.imshow(recurrence, cmap='binary', origin='lower')
plt.title('Recurrence Plot')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Time')
plt.colorbar(label='Recurrence')
plt.show()
混沌的數(shù)據(jù)
def logistic_map(x, r):
"""Logistic map function."""
return r * x * (1 - x)
# Initialize parameters
N = 500 # Number of data points
r = 3.9 # Parameter r, set to a value that causes chaotic behavior
x0 = np.random.rand() # Initial value
# Generate chaotic time series data
chaotic_data = [x0]
for _ in range(1, N):
x_next = logistic_map(chaotic_data[-1], r)
chaotic_data.append(x_next)
# Plot the chaotic time series
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(chaotic_data, label=f'Logistic Map (r={r})')
plt.title('Chaotic Time Series')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
recurrence = recurrence_plot(chaotic_data, threshold=0.1)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.imshow(recurrence, cmap='binary', origin='lower')
plt.title('Recurrence Plot')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Time')
plt.colorbar(label='Recurrence')
plt.show()
標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)
作為最后一個(gè)例子，讓我們看看從2013年10月28日至2023年10月27日的標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)真實(shí)數(shù)據(jù):
import pandas as pd
df = pd.read_csv('standard_and_poors_500_idx.csv', parse_dates=True)
df['Date'] = pd.to_datetime(df['Date'])
df.set_index('Date', inplace = True)
df.drop(columns = ['Open', 'High', 'Low'], inplace = True)
df.plot()
plt.title('S&P 500 Index - 10/28/2013 to 10/27/2023')
plt.ylabel('S&P 500 Index')
plt.xlabel('Date');
recurrence = recurrence_plot(df['Close/Last'], threshold=10)
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.imshow(recurrence, cmap='binary', origin='lower')
plt.title('Recurrence Plot')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Time')
plt.colorbar(label='Recurrence')
plt.show()選擇合適的相似性閾值是 遞歸圖分析的一個(gè)關(guān)鍵步驟。較小的閾值會(huì)導(dǎo)致更多的重復(fù)模式，而較大的閾值會(huì)導(dǎo)致更少的重復(fù)模式。閾值的選擇通常需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特性和分析目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整。
這里我們不得不調(diào)整閾值，最終確得到的結(jié)果為10，這樣可以獲得更大的對(duì)比度。上面的遞歸圖看起來(lái)很像隨機(jī)游走遞歸圖和無(wú)規(guī)則的混沌數(shù)據(jù)的混合體。
總結(jié)
在本文中，我們介紹了遞歸圖以及如何使用Python創(chuàng)建遞歸圖。遞歸圖給了我們一種直觀表征時(shí)間序列圖的方法。遞歸圖是一種強(qiáng)大的工具，用于揭示時(shí)間序列中的結(jié)構(gòu)和模式，特別適用于那些具有周期性、重復(fù)性或復(fù)雜結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)。通過(guò)可視化和特征提取，研究人員可以更好地理解時(shí)間序列數(shù)據(jù)并進(jìn)行進(jìn)一步的分析。
從遞歸圖中可以提取各種特征，以用于進(jìn)一步的分析。這些特征可以包括重復(fù)點(diǎn)的分布、Lempel-Ziv復(fù)雜度、最長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度等。
遞歸圖在多個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，包括時(shí)間序列分析、振動(dòng)分析、地震學(xué)、生態(tài)學(xué)、金融分析、生物醫(yī)學(xué)等。它可用于檢測(cè)周期性、異常事件、相位同步等。
網(wǎng)頁(yè)題目：使用遞歸圖recurrenceplot表征時(shí)間序列
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